Théorème de Legendre

Le théorème de Legendre qui suit concerne les équations diophantiennes de la forme $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ où les coefficients $a,b,c$ satisfont les hypothèses suivantes :

1. $a>0$, $b<0$ et $c<0$,
2. $a,b,c$ sont sans facteur carré et premiers entre eux deux à deux.

Le théorème de Legendre énonce alors que l'équation diophantienne ci-dessus a une solution (non triviale) si et seulement si :

• $-ab$ est résidu quadratique ${\pmod {c}}$,
• $-bc$ est résidu quadratique ${\pmod {a}}$ et
• $-ca$ est résidu quadratique ${\pmod {b}}$.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, coll. « GTM » (n^o 84), 1982 (lire en ligne), p. 273-274
• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en), vol. II: Diophantine Analysis, chap. XIII, p. 422, Chelsea Publishing, 1971, (ISBN 0-8284-0086-5).

Lien externe

(en) José Felipe Voloch, Legendre's Theorem (p. 4-7)